Отвечу про областной роддом. В назначенный день выписки к часу Х папа приезжает в роддом с мамиными вещами (во что ей одеться) и с набором для выписки для маси. Есть специальная комната (выписная помоему так и называется), туда через окошко в двери со стороны коридора папа отдает вещи медсестре. Туда же в эту комнату только со стороны роддома приходит мама, медсесетра отдает ей вещи, мама переодевается. Ребенка медсестра одевает сама под маминым контролем. Когда все готовы все через ту же дверь с окошком выходит мама и медсестра с ребенком на руках в коридор, где папе уже нетерпится))). Вручает кулек папе. Все счастливы аплодисменты))) папа в ответ отдает медсестре знак благодарности - заранее подготовленные цветы, торт, конфеты (нужное подчеркнуть).
Сейчас часто для этого момента заказывают профессиональную фотосъемку, тогда в процесс вмешивается фотограф и немного ставит сцену: куда встать папе, как повернуться медсестре и т.д.